קטע אמצעים במשולשגאומטריה 571 · שיעור 14
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 14: קטע אמצעים במשולש
פרק 4 · קווים מיוחדים במשולש
1קטע אמצעים: מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה
2המשפט ההפוך
35 תרגילים, כולל מרובע האמצעים
הגדרה + משפטים
קטע אמצעים במשולש
D אמצע AB , E אמצע AC
הקטע DE מחבר אמצעים של שתי צלעות – קטע אמצעים
📐 משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית: DE ∥ BC
📐 ושווה לחצי ממנה: DE = BC : 2
📐 משפט הפוך: ישר שיוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע שנייה – חוצה את הצלע השלישית
תרגיל 1 · קטע אמצעים ומשוואה · קל
D ו־E אמצעי הצלעות AB ו־AC
DE = 3x + 1 , BC = 4x + 12. מצאו את x , DE ו־BC
DE = 3x + 1 , BC = 4x + 12. מצאו את x , DE ו־BC
D , E אמצעי הצלעות
נתון
DE = BC : 2 ⟹ BC = 2 · DE
קטע אמצעים שווה לחצי הצלע השלישית
4x + 12 = 2(3x + 1)
מציבים
4x + 12 = 6x + 2
פותחים סוגריים
12 − 2 = 6x − 4x ⟹ 10 = 2x
מעבירים אגפים וכינוס
x = 5
מחלקים ב־2
DE = 3 · 5 + 1 = 16 , BC = 4 · 5 + 12 = 32 ✔
מציבים x = 5 (32 = 2 · 16)
✅ פתרון סופי: x = 5 , DE = 16 , BC = 32
📐 משפט
קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה
DE ∥ BC , DE = BC : 2
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
תרגיל 2 · משולש האמצעים · קל
במשולש ABC: AB = 10 , AC = 12 , BC = 14
D , E , F אמצעי הצלעות. מצאו את היקף המשולש DEF
D , E , F אמצעי הצלעות. מצאו את היקף המשולש DEF
DE = BC : 2 = 14 : 2 = 7
קטע אמצעים שווה לחצי הצלע השלישית
EF = AB : 2 = 10 : 2 = 5
קטע אמצעים שווה לחצי הצלע השלישית
DF = AC : 2 = 12 : 2 = 6
קטע אמצעים שווה לחצי הצלע השלישית
היקף △DEF = 7 + 5 + 6 = 18
סכום הצלעות
💡 היקף משולש האמצעים הוא תמיד חצי מהיקף המשולש: 36 : 2 = 18
✅ פתרון סופי: היקף המשולש DEF הוא 18
📐 משפט
קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה
DE ∥ BC , DE = BC : 2
תרגיל 3 · משפט הפוך · בינוני
D אמצע AB. דרך D מעבירים ישר מקביל ל־BC, החותך את AC ב־E
נתון: AC = 18 , BC = 20. מצאו את AE ואת DE
נתון: AC = 18 , BC = 20. מצאו את AE ואת DE
AD = DB , DE ∥ BC , AC = 18 , BC = 20
נתון
E אמצע AC
ישר מאמצע צלע, מקביל לצלע שנייה, חוצה את השלישית
AE = 18 : 2 = 9
E אמצע AC
DE קטע אמצעים
D ו־E אמצעי צלעות
DE = 20 : 2 = 10
קטע אמצעים שווה לחצי הצלע השלישית
✅ פתרון סופי: AE = 9 , DE = 10
📐 משפט הפוך
ישר שיוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית
📐 משפט
קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה
DE ∥ BC , DE = BC : 2
תרגיל 4 · קטע אמצעים וזוויות · קל
DE קטע אמצעים במשולש ABC (D על AB , E על AC). נתון: ∢B = 50 , ∢C = 70
מצאו את זוויות המשולש ADE
מצאו את זוויות המשולש ADE
DE ∥ BC
קטע אמצעים מקביל לצלע השלישית
∢ADE = ∢B = 50
בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
∢AED = ∢C = 70
בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
∢A = 180 − 50 − 70 = 60
סכום הזוויות במשולש
✅ פתרון סופי: ∢ADE = 50 , ∢AED = 70 , ∢A = 60
📐 משפט
קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה
DE ∥ BC , DE = BC : 2
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
תרגיל 5 · מורכב: מרובע האמצעים
K , L , M , N אמצעי הצלעות של המרובע ABCD. נתון: AC = 10 , BD = 8
הוכיחו: KL ∥ NM ו־KL = NM , ומצאו את היקף KLMN
הוכיחו: KL ∥ NM ו־KL = NM , ומצאו את היקף KLMN
מעבירים את האלכסון AC: הוא מחלק את המרובע לשני משולשים
ב־△ABC: KL ∥ AC , KL = AC : 2 = 5
קטע אמצעים במשולש ABC
ב־△ADC: NM ∥ AC , NM = AC : 2 = 5
קטע אמצעים במשולש ADC
KL ∥ NM , KL = NM
שניהם מקבילים ל־AC ושווים לחציו
באותו אופן עם BD: LM = KN = 8 : 2 = 4
קטעי אמצעים במשולשים BCD ו־ABD
היקף KLMN = 5 + 4 + 5 + 4 = 18
סכום הצלעות
💡 היקף מרובע האמצעים = סכום האלכסונים: 10 + 8 = 18
✅ פתרון סופי: KL ∥ NM , KL = NM = 5 , היקף KLMN = 18
📐 משפט
קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה
DE ∥ BC , DE = BC : 2
📌 מה למדנו היום
📐 משפט
קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה לחציה
DE ∥ BC , DE = BC : 2
📐 משפט הפוך
ישר שיוצא מאמצע צלע ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית
💡 רואים שתי נקודות אמצע? מחברים אותן – קטע אמצעים. ישר מאמצע צלע ומקביל – מגיע לאמצע הצלע השלישית.
בשיעור הבא: התיכון ליתר וזווית של 30 מעלות
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא